Question

已知，如图：在平面直角坐标系中，点D是直线y=﹣x上一点，过O、D两点的圆⊙O₁分别交x轴、y轴于点A和B．

（1）当A（﹣12，0），B（0，﹣5）时，求O₁的坐标；

（2）在（1）的条件下，过点A作⊙O₁的切线与BD的延长线相交于点C，求点C的坐标；

（3）若点D的横坐标为，点I为△ABO的内心，IE⊥AB于E，当过O、D两点的⊙O₁的大小发生变化时，其结论：AE﹣BE的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出变化范围．

Answer

（1）O1（﹣6，﹣2.5）；（2）C（﹣7，12）；（3）见解析.

【解析】

（1）连接AB，过点O1作O1K⊥OA于点K，由∠AOB=90°，可知：AB过圆心O1，已知点A，点B的坐标，O1A=O1B，则O1K=OB，OK=OA，从而可将点O1的坐标求出；

（2）证△ACH≌△BAO，得CH=OA，OH=AO-OB，从而可将点C的坐标求出；

（3）作辅助线，作DN⊥X轴于N，DM⊥Y轴于M，可知：四边形DMON为正方形，通过证明△ADN≌△BDM，得AN=BM，故AE-BEAG-BF=（OA-OG）-（OB-OF）=OA-OB=（AN+OG）-（AN-MO）=OG+OM=7为定值．

（1）连接AB，过点O1作O1K⊥OA于点K，

∵∠AOB=90°，

∴AB经过圆心O1，

∵A（﹣12，0），B（0，﹣5），O1K⊥O1A，O1A=O1B，

∴O1K=OB=2.5，OK=OA=×12=6，

∴O1（﹣6，﹣2.5）；

（2）过点C作CH⊥x轴于点H，连接AD、AB，

∵AC为⊙O1的切线

∴∠CAB=90°，

∵直线OD解析式为y=﹣x，

∴∠AOD=∠ABD=45°，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴AC=AB，

∵AC为⊙O1的切线，

∴∠CAH=∠ABO，

∵∠CHA=∠AOB=90°，AC=AB，

∴△ACH≌△BAO，

∴CH=OA=12，OH=AO﹣OB=12﹣5=7，

∴点C（﹣7，12）；

（3）D是直线y=﹣x上一点，作DN⊥X轴于N，DM⊥Y轴于M，

DM=DN=NO=MO，G、F分别是与X轴、Y轴的切点，由AE=AG，BE=BF，IG=OG=OF=IF，

∵∠ADN+∠NDB=90°，∠BDM+∠NDB=90°

∴∠ADN=∠BDM，

∵∠ADN=∠BDM，ND=DM，∠AND=∠BMD=90°

∴△ADN≌△BDM，

∴AN=BM，

∴AE﹣BE=AG﹣BF，=（OA﹣OG）﹣（OB﹣OF）=OA﹣OB=（AN+ON）﹣（AN﹣MO）=ON+OM==7．