Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，∠AFC=30°．

（1）求证：CF为⊙O的切线．

（2）若半径ON⊥AD于点M，CE=，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析: （1）由CD垂直平分OB,得到E为OB的中点,且CD与OB垂直,又OB=OC,可得OE等于OC的一半,在直角三角形OEC中,根据锐角三角函数的定义,得到sin∠ECO的值为,可得∠ECO为30°,进而得到∠EOC为60°,又∠CFO为30°,可得∠OCF为直角,由OC为圆O的半径,可得CF为圆的切线,

（2）由（1）得出的∠COF=60°,根据对称性可得∠EOD为60°,进而得到∠DOA=120°,由OA=OD,且OM与AD垂直,根据“三线合一”得到∠DOM为60°,在直角三角形OCE中,由CE的长及∠ECO=30°,可求出半径OC的长,又在直角三角形OMD中,由∠MDO=30°,半径OD=2,可求出MD及OM的长,然后利用扇形ODN的面积减去三角形ODM的面积即可求出阴影部分的面积.

试题解析:（1）证明:∵CD垂直平分OB,

∴OE=OB,∠CEO=90°,

∵OB=OC,

∴OE=OC,

在Rt△COE中,sin∠ECO==,

∴∠ECO=30°,

∴∠EOC=60°,

∵∠CFO=30°,

∴∠OCF=90°,又OC是⊙O的半径,

∴CF是⊙O的切线,

（2）解:由（1）可得∠COF=60°,

由圆的轴对称性可得∠EOD=60°,∴∠DOA=120°,

∵OM⊥AD,OA=OD,∴∠DOM=60°,

在Rt△COE中,CE=,∠ECO=30°,cos∠ECO=,

∴OC=2,

在Rt△ODM中,OD=2,∠ADO=30°,

∴OM=ODsin30°=1,MD=ODcos30°=,

∴S扇形OND=,

∴S△OMD=OM•DM=,

∴S阴影=S扇形OND﹣S△OMD=.