Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O

（1）求证：点D在⊙O上；

（2）求证：BC是⊙O的切线；

（3）若AC=6，BC=8，求BE的长度．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）BE=．

【解析】

(1)连接OD，由DO为直角三角形斜边上的中线，得到OD=OA=OE，可得出点D在圆O上；

（2）由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OD与AC平行，根据两直线平行同位角相等即可得到∠ODB为直角，即BC与OD垂直，即可确定出BC为圆O的切线；

（3）过E作EH垂直于BC，由OD与AC平行，得到△ACB与△ODB相似，设OD=OA=OE=x，表示出OB，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OD与BE的长．

（1）连接OD，

∵△ADE是直角三角形，OA=OE，

∴OD=OA=OE，

∴点D在⊙O上；

（2）∵AD是∠BAC的角平分线，

∴∠CAD=∠DAB，

∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠CAD=∠ODA，

∴AC∥OD，

∴∠C=∠ODB=90°，

∴BC是⊙O的切线；

（3）在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，

∴根据勾股定理得：AB=10，

设OD=OA=OE=x，则OB=10﹣x，

∵AC∥OD，△ACB∽△ODB，

∴，

∴OD=，

解得：x=，

∴OD=，BE=10﹣2x=10﹣=．