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如图,BC是⊙O的直径,D、E是⊙O上的两点,且弧CD=DE,连接EB、DO. ...

如图,BC是⊙O的直径,D、E是⊙O上的两点,且弧CD=DE,连接EB、DO.

(1)求证:EB∥DO;

(2)连接EC,在∠CEB的外部作∠BEA=∠C,直线EA交CB的延长线于A,求证:直线EA是⊙O的切线;

(3)若EA=2,AB=1,求⊙O的半径长.

 

(1)见解析;(2)见解析;(3)⊙O半径长为. 【解析】 (1)由垂径定理得:OD⊥EC;由圆周角定理,得:BE⊥EC;由此可证得EB∥DO; (2)连接OE,证得∠OEA=90°即可; (3)根据AE2=AB•AC,即可求得AC长,进而求得⊙O的半径长. (1)∵弧CD=DE, ∴OD⊥EC, ∵BC是⊙O的直径, ∴∠BEC=90°, ∴BE⊥EC, ∴EB∥DO; (2)连接OE, ∵OC=OE, ∴∠C=∠OEC, ∵∠BEA=∠C, ∴∠BEA=∠OEC, ∵∠CEO+∠BEO=90°, ∴∠BEA+∠BEO=90°,即∠OEA=90°, ∴直线EA是⊙O的切线; (3)∵AE是切线,AC是割线, ∴由切割线定理知:AE2=AB•AC, ∴AC=AE2÷AB=4, ∴BC=AC﹣AB=3, ∴⊙O半径长为.
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如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,过点D作DE⊥AD交AB于点E,以AE为直径作⊙O

(1)求证:点D在⊙O上;

(2)求证:BC是⊙O的切线;

(3)若AC=6,BC=8,求BE的长度.

 

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如图,AB为⊙O的直径,弦CD垂直平分OB于点E,点FAB延长线上,∠AFC=30°

1)求证:CF为⊙O的切线.

2)若半径ONAD于点MCE=求图中阴影部分的面积.

 

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如图,在ABCD(AB>AD)中,点E在边AB上,以点E为圆心,AE长为半径的⊙E分别交AB、AD于点N、N,与BC所在的直线相切于点G

(1)求证:EG∥MN;

(2)若AB=10,AD与BC之间的距离为6,求⊙E的半径.

 

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如图1,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x轴的正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E.

(1)试问△OBC与△ABD全等吗?并证明你的结论;

(2)随着点C位置的变化,点E的位置是否会发生变化?若没有变化,求出点E的坐标;若有变化,请说明理由;

(3)如图2,以OC为直径作圆,与直线DE分别交于点F、G,设AC=m,AF=n,用含n的代数式表示m

 

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已知,如图:在平面直角坐标系中,点D是直线y=﹣x上一点,过O、D两点的圆⊙O1分别交x轴、y轴于点A和B.

(1)当A(﹣12,0),B(0,﹣5)时,求O1的坐标;

(2)在(1)的条件下,过点A作⊙O1的切线与BD的延长线相交于点C,求点C的坐标;

(3)若点D的横坐标为,点I为△ABO的内心,IE⊥AB于E,当过O、D两点的⊙O1的大小发生变化时,其结论:AE﹣BE的值是否发生变化?若不变,请求出其值;若变化,请求出变化范围.

 

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