Question

如图，△ABC内接于⊙O，且∠B= 60°．过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．

（1）求证：△ACF≌△ACG；

（2）若AF= 4，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）略

（2）

【解析】

（1） 如图，连结CD，OC，则∠ADC=∠B= 60°．

∵AC⊥CD，CG⊥AD，∴∠ACG=∠ADC= 60°．

由于∠ODC= 60°，OC=OD，∴△OCD为正三角形，得∠DCO= 60°．

由OC⊥l，得∠ECD= 30°，∴∠ECG= 30° + 30° = 60°．

进而∠ACF= 180°－2×60° = 60°，∴ △ACF≌△ACG．

（2）在Rt△ACF中，∠ACF= 60°，AF= 4，得CF= 4．

在Rt△OCG中，∠COG= 60°，CG=CF= 4，得OC=．

在Rt△CEO中，OE=．

于是S阴影=S△CEO－S扇形COD==．