Question

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．

（1）求证：点F是BD中点；

（2）求证：CG是⊙O的切线；

（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

Answer

（1）见解析;（2）见解析;（3）⊙O半径为2．

【解析】

（1）由已知中CH⊥AB于点H，DB为圆的切线，我们易得到△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF，进而根据三角形相似，对应边成比例，根据E为CH中点，得到点F是BD中点；

（2）连接CB、OC，根据圆周定理的推论，我们易得在直角三角形BCD中CF=BF，进而求出∠OCF=90°，由切线的判定定理，得到CG是⊙O的切线；

（3）由由FC=FB=FE，易得FA=FG，且AB=BG，由切割线定理及勾股定理，我们可以求出AB的长，即圆的直径，进而得到圆的半径．

（1）∵CH⊥AB，DB⊥AB，

∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，

∴，

∵HE=EC，

∴BF=FD，即点F是BD中点；

（2）连接CB、OC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵F是BD中点，

∴∠BCF=∠CBF=90°﹣∠CBA=∠CAB=∠ACO，

∴∠OCF=90°，

又∵OC为圆O半径，

∴CG是⊙O的切线，

（3）∵FC=FB=FE，

∴∠FCE=∠FEC，

∵∠FEC=∠AEH，

∴∠FCE=∠AEH，

∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，

∴∠G=∠FAB，

∴FA=FG，

∵FB⊥AG，

∴AB=BG，

∵（2+FG）2=BG×AG=2BG2①

BG2=FG2﹣BF2②

由①、②得：FG2﹣4FG﹣12=0，

∴FG1=6，FG2=﹣2（舍去），

∴AB=BG=，

∴⊙O半径为2．