Question

已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．

（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25⁰，求∠AMB的大小；

（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．

Answer

（Ⅰ）50°（Ⅱ）60°

【解析】解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于点A，∴∠MAC=90°。

又∠BAC=25°，∴∠MAB=∠MAC－∠BAC=65°。

∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，∴MA=MB。

∴∠MAB=∠MBA。

∴∠AMB=180°－（∠MAB+∠MBA）=50°。

（Ⅱ）如图，连接AD、AB，

∵MA⊥AC，又BD⊥AC，

∴BD∥MA。

又∵BD=MA，∴四边形MADB是平行四边形。

又∵MA=MB，∴四边形MADB是菱形。∴AD=BD。

又∵AC为直径，AC⊥BD，

∴ AB = AD 。

∴AB=AD=BD。∴△ABD是等边三角形。∴∠D=60°。

∴在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60°

（Ⅰ）由AM与圆O相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC，可得出∠MAC为直角，再由∠BAC的度数，用∠MAC－∠BAC求出∠MAB的度数，又MA，MB为圆O的切线，根据切线长定理得到MA=MB，利用等边对等角可得出∠MAB=∠MBA，由底角的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠AMB的度数。

（Ⅱ）连接AB，AD，由直径AC垂直于弦BD，根据垂径定理得到A为优弧BAD 的中点，根据等弧对等弦可得出AB=AD，由AM为圆O的切线，得到AM垂直于AC，又BD垂直于AC，根据垂直于同一条直线的两直线平行可得出BD平行于AM，又BD=AM，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ADBM为平行四边形，再由邻边MA=MB，得到ADBM为菱形，根据菱形的邻边相等可得出BD=AD，进而得到AB=AD=BD，即△ABD为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠D为60°，再利用菱形的对角相等可得出∠AMB=∠D=60°。