Question

如图1，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H，BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线相交于点D．

（1）求证：DA=DC；

（2）当DF：EF=1：8，且DF=时，求AB•AC的值；

（3）将图1中的EF所在直线往上平行移动到⊙O外，如图2的位置，使EF与OB，延长线垂直，垂足为H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O的半径，AB的延长线交⊙O于C，过C作⊙O的切线交EF于D．试猜想DA=DC是否仍然成立？并证明你的结论．

Answer

（1）见解析;（2）24;（3）见解析．

【解析】

（1）连接过切点的半径OC，根据等角的余角相等进行证明∠ACD=∠DAC，从而得到AD=CD；

（2）根据已知条件求得DF的长，再根据切割线定理求得CD的长．从而求得DF和EF的长，最后根据相交弦定理即可求得它们的乘积；

（3）作直径，构造了直角三角形，也构造了弦切角所夹的弧所对的圆周角．根据等角的余角相等证明∠DAC=∠ACD，从而证明结论．

（1）连接OC，则OC⊥DC，

∴∠DCA=90°﹣∠ACO=90°﹣∠B，

∵∠DAC=∠BAE=90°﹣∠B，

∴∠DAC=∠DCA，

∴DA=DC；

（2）∵DF：EF=1：8，

∵DF=，

∴EF=8DF=8，

∵DC为⊙O的切线，

∴DC2=DF•DE=×9=18，

∵DC=3，

∴AF=2，AE=6，

∴AB•AC=AE•AF=24；

（3）结论DA=DC仍然成立．

理由如下：延长BO交⊙O于K，连接CK，则∠KCB=90°，

∵DC为⊙O的切线，

∴∠DCA=∠CKB=90°﹣∠CBK，

∵∠CBK=∠HBA，

∴∠BAH=90°﹣∠HBA=90°﹣∠CBK，

∴∠DCA=∠BAH，

∴DA=DC．