Question

如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．

（1）求证：PB是的切线．

（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．

Answer

(1)证明见解析；（2）3．

【解析】

试题（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；

（2）在Rt△PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD-PC求出CD的长，在Rt△OCD中，设OC=r，则有OD=8-r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．

试题解析：（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，

∴∠OBP=∠E=90°，

∵OB为圆的半径，

∴PB为圆O的切线；

（2）【解析】
在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，

根据勾股定理得：PD=，

∵PD与PB都为圆的切线，

∴PC=PB=6，

∴DC=PD-PC=10-6=4，

在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8-r，

根据勾股定理得：（8-r）2=r2+42，

解得：r=3，

则圆的半径为3．