Question

如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，DF⊥AE，垂足为F.

(1)求证：△ADF∽△EAB；

(2)若AB＝4，AD＝6，求DF的长．

Answer

（1）详见解析；（2）DF＝.

【解析】

（1）由矩形的性质得出AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，由平行线的性质得出∠DAF=∠AEB，证出∠AFD=∠B，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AE，由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可求出DF的长．

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，

∴∠DAF=∠AEB.

∵DF⊥AE，

∴∠AFD=90°=∠B，

∴△ADF∽△EAB.

(2)【解析】
∵BC=AD=6，E是BC边的中点，

∴BE=3，

∴

由(1)得△ADF∽△EAB，

∴ 即

解得