Question

如图，在△ABC中，BC＝30，高AD＝18，作矩形PQRS，使得P，S分别落在AB，AC边上，Q，R落在BC边上．

(1)求证：△APS ∽△ABC；

(2)如果矩形PQRS是正方形，求它的边长；

(3)如果AP∶PB＝1∶2，求矩形PQRS的面积．

Answer

（1）详见解析；（2）正方形PQRS的边长为；（3）S矩形PQRS＝120.

【解析】

（1）由四边形PQRS是矩形，可得PS∥QR，即可得：△APS∽△ABC；
（2）由矩形PQRS是正方形，可设PS=x，然后利用相似三角形的对应高的比等于相似比，即可得方程解此方程即可求得答案；
（3）由相似三角形对应边成比例，即可求得PQ与PS的长，继而可求得矩形PQRS的面积．

(1) 证明：∵四边形PQRS是矩形，

∴PS∥QR，即PS∥BC，

∴△APS ∽△ABC.

(2)【解析】
∵四边形PQRS是正方形，

∴PS＝PQ＝SR，PS∥QR.

∵AD是△ABC的高，即AD⊥BC，

∴AM⊥PS，即AM是△APS的高．

∵△APS ∽△ABC，

∴

设PS＝x.

∵BC＝30，AD＝18，

∴AM=18－x，

解得

∴正方形PQRS的边长为.

(3)【解析】
∵四边形PQRS是矩形，∴PQ⊥QR.

∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴PQ∥AD，

∴△PBQ∽△ABD，

∴.

∵

∴

∴

∵△APS ∽△ABC，

∴

∴

∴S矩形PQRS