Question

如图，在平面直角坐标系xOy内，函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）图象有公共点A，点A的坐标为（4，a），AB⊥x轴，垂足为点B．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点C是第一象限内直线OA上一点，过点C作直线CD∥AB，与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点D，且点C在点D的上方，CD=AB，求点D的坐标．

Answer

（1）y=．（2）点D的坐标为（8，1）．

【解析】

（1）把A的坐标为（4，a）代入y=x，求得a，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；

（2）设点C坐标为（m，m）（m＞0），点D坐标为（m， ），可得CD=m﹣，根据题意可得m﹣=×2，解得m=8，从而求得D的坐标．

【解析】
（1）∵点A在函数y=x的图象上，点A的坐标为（4，a），

∴a=2，

∴点A坐标为（4，2）．

∵点A在反比例函数y=（k≠0）的图象上，

∴2=，解得k=8．

∴反比例函数的解析式为y= ．

（2）∵AB⊥x轴，点A坐标为（4，2），

∴AB=2．

∵点C为第一象限内直线y=x上一点，

∴设点C坐标为（m， m）（m＞0）．

又∵CD∥AB，且点D在反比例函数y=的图象上，

∴设点D坐标为（m，）．

∵点C在点D的上方，

可得CD=m﹣．

∵CD=AB，

∴m﹣=×2，

∴解得m=8或m=﹣2．

∵m＞0，

∴m=8．

∴点D的坐标为（8，1）．