Question

如图，一次函数y=kx+1与反比例函数y=（m≠0）相交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于D、C两点，已知sin∠CDO=，△BOD的面积为1．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）连接OA，OB，点M是线段AB的中点，直线OM向上平移h（h＞0）个单位将△AOB的面积分成1：7两部分，求h的值．

Answer

（1）y=；（2）h=．

【解析】

（1）解直角三角形求出点D坐标，再利用三角形的面积公式求出点B坐标即可解决问题；
（2）设平移后的中交OA于G，交AC于H．利用方程组求出点A坐标，利用中点坐标公式求出点M坐标，求出直线OM的解析式，再证明S△AHG：S△AOM=1：4，推出AG：AO=1：2，推出GA=OG，可得G（1，1），求出直线GH的解析式即可解决问题；

【解析】
（1）由题意点C（0，1），

在Rt△ODC中，∵OC=1，sin∠CDO=，

∴OD=2，

∴D（﹣2，0），

把D（﹣2，0）代入y=kx+1，得到k=，

∴一次函数的解析式为y=x+1，

∵△BOD的面积为1，设B（x，y），

∴×2×|y|=1，

∵y＜0，

∴y=﹣1，

∴B（﹣4，﹣1），

∴m=4，

∴反比例函数的解析式为y=．

（2）设平移后的中交OA于G，交AC于H．

由，解得或，

∴A（2，2），∵B（﹣4，﹣1），

∴M（﹣1，），

∴直线OM的解析式为y=﹣x，

∵AM=MB，

∴S△AMO=S△BMO，

∵S△AHG：S四边形OBHG=1：7，

∴S△AHG：S△AOM=1：4，

∴AG：AO=1：2，

∴GA=OG，

∴G（1，1），

∴直线HG的解析式为y=﹣x+，

∴h=．