Question

已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．

(1)作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；

(2)在(1)的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE＝4，sin∠AGF＝，求⊙O的半径．

Answer

（1）作图见解析；（2）⊙O的半径为.

【解析】

（1）作出相应的图形，如图所示；

（2）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．

【解析】
(1)作出相应的图形，如图所示(去掉线段BF即为所求)．

(2)∵AD∥BC，

∴∠DAB＋∠CBA＝180°.

∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，

∴∠EAB＋∠EBA＝90°，

∴∠AEB＝90°.

∵AB为⊙O的直径，点F在⊙O上，

∴∠AFB＝90°，∴∠FAG＋∠FGA＝90°.

∵AE平分∠DAB，

∴∠FAG＝∠EAB，∴∠AGF＝∠ABE，

∴sin∠ABE＝sin∠AGF＝＝.

∵AE＝4，∴AB＝5，

∴⊙O的半径为.