Question

如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF.

(1)求证：FH＝ED；

(2)当AE为何值时，△AEF的面积最大？

Answer

（1）证明见解析；（2）AE＝2时，△AEF的面积最大．

【解析】

（1）根据正方形的性质，可得EF=CE，再根据∠CEF=∠90°，进而可得∠FEH=∠DCE，结合已知条件∠FHE=∠D=90°，利用“AAS”即可证明△FEH≌△ECD，由全等三角形的性质可得FH=ED；

（2）设AE=a，用含a的函数表示△AEF的面积，再利用函数的最值求面积最大值即可．

(1)证明：∵四边形CEFG是正方形，∴CE＝EF.

∵∠FEC＝∠FEH＋∠CED＝90°，∠DCE＋∠CED＝90°，

∴∠FEH＝∠DCE.

在△FEH和△ECD中，

,

∴△FEH≌△ECD，

∴FH＝ED.

(2)【解析】
设AE＝a，则ED＝FH＝4－a，

∴S△AEF＝AE·FH＝a(4－a)＝－ (a－2)2＋2，

∴当AE＝2时，△AEF的面积最大．