Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S_△ABC=2S_{四边形AEPF}，上述结论正确的有（   ）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】

利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半．

∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，

∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，

∴∠APF+∠CPF=90°，

∵∠EPF是直角，

∴∠APF+∠APE=90°，

∴∠APE=∠CPF，

在△APE和△CPF中，

，

∴△APE≌△CPF（ASA），

∴AE=CF，故①②正确；

∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE，

∴△EFP是等腰直角三角形，故③错误；

∵△APE≌△CPF，

∴S△APE=S△CPF，

∴四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC．故④正确，

故选C．