Question

如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C上y轴上，点B在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，点E从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动，过点E作x的垂线，交反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象于点P，过点P作PF⊥y轴于点F；记矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S，点E的运动时间为t秒．

（1）求该反比例函数的解析式．

（2）求S与t的函数关系式；并求当S=时，对应的t值．

（3）在点E的运动过程中，是否存在一个t值，使△FBO为等腰三角形？若有，有几个，写出t值．

Answer

（1）y=（x＞0）；（2）S与t的函数关系式为：S=﹣3t+9（0≤t≤3）；S=9﹣（t＞3）；当S=时，对应的t值为或6；（3）当t=或或3时，使△FBO为等腰三角形．

【解析】

（1）由正方形OABC的面积为9，可得点B的坐标为：（3，3），继而可求得该反比例函数的解析式．
（2）由题意得P（t，），然后分别从当点P1在点B的左侧时，S=t•（-3）=-3t+9与当点P2在点B的右侧时，则S=（t-3）•=9-去分析求解即可求得答案；
（3）分别从OB=BF，OB=OF，OF=BF去分析求解即可求得答案．

【解析】
（1）∵正方形OABC的面积为9，

∴点B的坐标为：（3，3），

∵点B在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，

∴3=，

即k=9，

∴该反比例函数的解析式为：y= y=（x＞0）；

（2）根据题意得：P（t，），

分两种情况：①当点P1在点B的左侧时，S=t•（﹣3）=﹣3t+9（0≤t≤3）；

若S=，

则﹣3t+9=，

解得：t=；

②当点P2在点B的右侧时，则S=（t﹣3）•=9﹣；

若S=，则9﹣=，

解得：t=6；

∴S与t的函数关系式为：S=﹣3t+9（0≤t≤3）；S=9﹣（t＞3）；

当S=时，对应的t值为或6；

（3）存在．

若OB=BF=3，此时CF=BC=3，

∴OF=6，

∴6=，

解得：t=；

若OB=OF=3，则3=，

解得：t= ；

若BF=OF，此时点F与C重合，t=3；

∴当t=或或3时，使△FBO为等腰三角形．