Question

如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有FM=EM．

（1）求证：AE∥CF；

（2）若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）先根据AB∥CD得出∠BAC=∠DCA，再由∠BAE=∠DCF可知∠EAM=∠FCM，故可得出结论；

（2）先由AM平分∠FAE得出∠FAM=∠EAM，再根据∠EAM=∠FCM可知∠FAM=∠FCM，故△FAC是等腰三角形，通过证明△AME≌△CMF，得到AM=CM，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论．

（1）∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA．

又∵∠BAE=∠DCF，∴∠EAM=∠FCM，∴AE∥CF；

（2）∵AM平分∠FAE，∴∠FAM=∠EAM．

又∵∠EAM=∠FCM，∴∠FAM=∠FCM，∴AF=FC．

在△AME和△CMF中，∵∠AME=∠CMF，∠EAM=∠FCM，EM=FM，∴△AME≌△CMF，∴AM=CM，∴EF垂直平分AC．