Question

如图，在△ABC中，M、N分别是BC与EF的中点，CF⊥AB，BE⊥AC．

（1）求证：MN⊥EF；

（2）连接FM、EM，若，试判断△FEM的形状．

Answer

（1）证明见解析；（2）△FEM是等边三角形．

【解析】

（1）连接ME、MF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MF=ME=BC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；

（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BMF+∠CME，然后求出∠EMF=60°，再根据等边三角形的判定方法解答即可．

（1）如图，连接MF、ME．

∵MF、ME分别为Rt△FBC是和Rt△EBC斜边上的中线，∴MF=ME=BC．

在△MEF中，∵MF=ME，点N是EF的中点，∴MN⊥EF．

（2）∵ME=MF=BM=CM，∴∠MBA=∠MFB，∠MEC=∠MCE，∴∠BMF+∠CME=180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB=360°﹣2（∠ABC+∠ACB）．

∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣60°=120°，∴∠BMF+∠CME=360°﹣2×120°=120°，∴∠EMF=60°，∴△MFE是等边三角形．