Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数与一次函数的

图像交于点A．

（1）求点A的坐标；

（2）在y轴上确定点M，使得△AOM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标；

（3）如图，设x轴上一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交和的图像于点B、C，连接OC，若BC=OA，求△ABC的面积及点B、点C的坐标；

（4）在（3）的条件下，设直线交x轴于点D，在直线BC上确定点E，使得△ADE的周长最小，请直接写出点E的坐标．

Answer

（1）（3，4）； （2）点M为（0，5）、（0，﹣5）、（0，8）、（0，）；（3）点B（9，12）、C（9，﹣2）；（4）点E坐标为（9，1）．

【解析】

试题（1）联立方程组，求解.(2)分类讨论在y轴上确定点OM= OA,OM=AM,总共有4种可能性.(3) 设点B（a，a），C（a，﹣a+7），利用BC=OA，求a值.过点A作AQ⊥BC，求得△ABC的面积及点B、点C的坐标.(4)利用对称求最小值.

试题解析：

【解析】
（1）联立得：，解得：，

则点A的坐标为（3，4）.

（2）根据勾股定理得：OA==5，

如图1所示，

分四种情况考虑：

当OM1=OA=5时，M1（0，5）；

当OM2=OA=5时，M2（0，﹣5）；

当AM3=OA=5时，M3（0，8）；

当OM4=AM4时，M4（0，），

综上，点M为（0，5）、（0，﹣5）、（0，8）、（0，）；

（3）设点B（a，a），C（a，﹣a+7），

∵BC=OA=×5=14，

∴a﹣（﹣a+7）=14，

解得：a=9，

过点A作AQ⊥BC，如图2所示，

∴S△ABC=BC•AQ=×14×（9﹣3）=42，

当a=9时，a=×9=12，﹣a+7=﹣9+7=﹣2，

∴点B（9，12）、C（9，﹣2）.

（4）如图3所示，

作出D关于直线BC的对称点D′，连接AD′，与直线BC交于点E，连接DE，此时△ADE周长最小，

对于直线y=﹣x+7，令y=0，得到x=7，即D（7，0），

由（3）得到直线BC为直线x=9，

∴D′（11，0），

设直线AD′解析式为y=kx+b，

把A与D′坐标代入得：，

解得：，

∴直线AD′解析式为y=﹣x+，

令x=9，得到y=1，

则此时点E坐标为（9，1）．