Question

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，连接AD，过D作AC的垂线，交AC边于点E，交AB 边的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若∠F=30°，BF=3，求弧AD的长．

Answer

（1）见解析；（2）2π.

【解析】

（1）根据圆周角定理求出AD⊥BC，得出AD平分∠BAC，即可推出OD∥AC，推出OD⊥EF，根据切线的判定推出即可．
（2）由OD⊥DF得∠ODF=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系OF=2OD，即OB+3=2OD，可解得OD=3，再计算出∠AOD=90°+∠F=120°，然后根据弧长公式求解．

证明：（1）连接AD，OD，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴AD平分∠BAC，

∴∠OAD=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥EF，

∵OD过O，

∴EF是⊙O的切线．

（2）∵OD⊥DF，

∴∠ODF=90°，

∵∠F=30°，

∴OF=2OD，即OB+3=2OD，

而OB=OD，

∴OD=3，

∵∠AOD=90°+∠F=90°+30°=120°，

∴的长度=.