Question

已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.

当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝OC；

当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

①②③

Answer

图②中OD＋OE＝OC成立．证明见解析;图③不成立，有数量关系：OE－OD＝OC

【解析】

试题当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得△CKD≌△CHE，进而可得出证明；判断出结果．解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC与OD、OE的关系；最后转化得到结论．

试题解析：图②中OD＋OE＝OC成立．

证明：过点C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为P，Q.

有△CPD≌△CQE，

∴DP＝EQ，

∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ，

又∵OP＋OQ＝OC，

即OD＋DP＋OE－EQ＝OC，

∴OD＋OE＝OC.

图③不成立，

有数量关系：OE－OD＝OC

过点C分别作CK⊥OA，
CH⊥OB，
∵OC为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠KCD与∠HCE都为旋转角，
∴∠KCD=∠HCE，
∴△CKD≌△CHE，
∴DK=EH，
∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK，
由（1）知：OH+OK=OC，
∴OD，OE，OC满足OE-OD=OC．