Question

某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销量y(万件)与销售单价x(元)之间关系可以近似地看作一次函数y＝－2x＋100.(利润＝售价－制造成本)

(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数解析式；

(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？

(3)根据相关部门的规定，这种电子产品的销售单价不得高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

Answer

（）（）当销售单价为元时，每月能获得最大利润，最大利润是万元（）所求每月最低制造成本为万元

【解析】

试题（1）根据每月的利润z=（x-18）y，再把y=-2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，

（2）把z=350代入z=-2x2+136x-1800，解这个方程即可，将z═-2x2+136x-1800配方，得z=-2（x-34）2+512，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是多少．

（3）结合（2）及函数z=-2x2+136x-1800的图象即可求出当25≤x≤43时z≥350，再根据限价32元，得出25≤x≤32，最后根据一次函数y=-2x+100中y随x的增大而减小，即可得出当x=32时，每月制造成本最低，最低成本是18×（-2×32+100）

试题解析：（1）z=（x-18）y=（x-18）（-2x+100）=-2x2+136x-1800，

∴z与x之间的函数解析式为z=-2x2+136x-1800（x＞18）；

（2）由z=350，得350=-2x2+136x-1800，

解这个方程得x1=25，x2=43

所以，销售单价定为25元或43元，

将z=-2x2+136x-1800配方，得z=-2（x-34）2+512（x＞18），

答；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；

（3）结合（2）及函数z=-2x2+136x-1800的图象（如图所示）可知，

当25≤x≤43时z≥350，

又由限价32元，得25≤x≤32，

根据一次函数的性质，得y=-2x+100中y随x的增大而减小，

∵x最大取32，

∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（-2×32+100）=648（万元），

答：每月最低制造成本为648万元．