Question

如图，正方形ABCD，AB=4，点M是边BC的中点，点E是边AB上的一个动点，作EG⊥AM交AM于点G，EG的延长线交线段CD于点F．

（1）如图①，当点E与点B重合时，求证：BM=CF；

（2）设BE=x，梯形AEFD的面积为y，求y与x的函数解析式，并写出定义域．

Answer

（1）见解析；（2）y与x的函数解析式为.

【解析】

(1)证明△BAM≌△CBF，根据全等三角形的性质证明；

(2)作EH⊥CD于H，根据全等三角形的性质求出FH，再根据梯形的面积公式计算即可.

（1）证明：∵GE⊥AM，∴∠BAM+∠ABG=90°，又∠CBF+∠ABG=90°，

在△BAM和△CBF中，∠BAM=∠CBF，AB=BC，∠ABM=∠BCF，

∴△BAM≌△CBF（ASA），∴BM=CF；

（2）【解析】
作EH⊥CD于H，由（1）得：△BAM≌△HEF，

∴HF=BM=2，∴DF=4-2-x=2-x，

∴，

答：y与x的函数解析式为．

故答案为：（1）见解析；（2）y与x的函数解析式为.