Question

如图，已知直线AQ与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，∠QAO=45°，直线AQ在y轴上的截距为2，直线BE：y=-2x+8与直线AQ交于点P．

（1）求直线AQ的解析式；

（2）在y轴正半轴上取一点F，当四边形BPFO是梯形时，求点F的坐标．

（3）若点C在y轴负半轴上，点M在直线PA上，点N在直线PB上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由．

Answer

（1）直线AQ的解析式为y=x+2；（2）F（0，4）；（3）存在，C（0，）或C（0，-10）

【解析】

(1)利用待定系数法即可求出直线AQ的解析式；

(2)先求出直线AQ和直线BE的交点P的坐标，由PF∥x轴可知F横坐标为0，纵坐标与点P的纵坐标相等；

(3)分CQ为菱形的对角线与CQ是菱形的一条边两种情况讨论.

【解析】
（1）设直线AQ的解析式为y=kx+b，

∵直线AQ在y轴上的截距为2，

∴b=2，

∴直线AQ的解析式为y=kx+2，

∴OQ=2，

在Rt△AOQ中，∠OAQ=45°，

∴OA=OQ=2，

∴A（-2，0），

∴-2k+2=0，

∴k=1，

∴直线AQ的解析式为y=x+2；

（2）由（1）知，直线AQ的解析式为y=x+2①，

∵直线BE：y=-2x+8②，

联立①②解得，

∴P（2，4），

∵四边形BPFO是梯形，

∴PF∥x轴，

∴F（0，4）；

（3）设C（0，c），

∵以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，

①当CQ是对角线时，CQ与MN互相垂直平分，

设C（0，c），

∵CQ的中点坐标为（0，），

∴点M，N的纵坐标都是，

∴M（，），N（，），

∴+=0，

∴c=-10，

∴C（0，-10），

②当CQ为边时，CQ∥MN，CQ=MN=QM，

设M（m，m+2），

∴N（m，-2m+8），

∴|3m-6|=2-c=|m|，

∴m=或m=，

∴c=或c=（舍），

∴，

∴（0，）或C（0，-10）.