Question

已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形。如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．

（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数（k>0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；

（3）若某函数是二次函数y=ax²+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标_____，写出符合题意的其中一条抛物线解析式_____，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？_____．（本小题只需直接写出答案）

Answer

（1）；（2）；（3）（﹣1，3）；（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1）,对应的抛物线分别为 ； ；,偶数.

【解析】

（1）设正方形ABCD的边长为a，当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，可知3a=，求出a，
（2）作DE、CF分别垂直于x、y轴，可知ADE≌△BAO≌△CBF，列出m的等式解出m，
（3）本问的抛物线解析式不止一个，求出其中一个．

【解析】
（1）∵正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．

当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时，

∴AO=1，BO=1，

∴正方形ABCD的边长为 ,

当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，

设正方形的边长为a，得3a=,

∴ ，

所以伴侣正方形的边长为或；

（2）作DE、CF分别垂直于x、y轴，

知△ADE≌△BAO≌△CBF，

此时，m＜2，DE=OA=BF=m

OB=CF=AE=2﹣m

∴OF=BF+OB=2

∴C点坐标为（2﹣m，2），

∴2m=2（2﹣m）

解得m=1，

反比例函数的解析式为y= ，

（3）根据题意画出图形，如图所示：

过C作CF⊥x轴，垂足为F，过D作DE⊥CF，垂足为E，

∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC，

∵C（3，4），即CF=4，OF=3，

∴EG=3，DE=4，故DG=DE﹣GE=DE﹣OF=4﹣3=1，

则D坐标为（﹣1，3）；

设过D与C的抛物线的解析式为：y=ax2+b，

把D和C的坐标代入得： ，

解得 ，

∴满足题意的抛物线的解析式为y=x2+ ；

同理可得D的坐标可以为：（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1），；

对应的抛物线分别为 ； ；，

所求的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.