Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．

（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为　   　度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为　   　；

（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；

（3）PA、PB、PC满足的等量关系为　   　．

Answer

（1）150，（2）证明见解析（3）

【解析】

试题（1）根据旋转变换的性质得到△PAP′为等边三角形，得到∠P′PC＝90°，根据勾股定理解答即可；

（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，作AD⊥PP′于D，根据余弦的定义得到PP′＝PA，根据勾股定理解答即可；

（3）与（2）类似，根据旋转变换的性质、勾股定理和余弦、正弦的关系计算即可．

试题解析：

【解析】
（1）∵△ABP≌△ACP′，

∴AP＝AP′，

由旋转变换的性质可知，∠PAP′＝60°，P′C＝PB，

∴△PAP′为等边三角形，

∴∠APP′＝60°，

∵∠PAC＋∠PCA＝×60° ＝30°，

∴∠APC＝150°，

∴∠P′PC＝90°，

∴PP′2＋PC2＝P′C2，

∴PA2＋PC2＝PB2，

故答案为：150，PA2＋PC2＝PB2；

（2）如图，作°，使，连接，．过点A作AD⊥于D点．

∵°，

即，

∴．

∵AB＝AC，，

∴.

∴，°．

∵AD⊥，

∴°.

∴在Rt中，.

∴．

∵°，

∴°.

∴°．

∴在Rt中，.

∴；

（3）如图2，与（2）的方法类似，

作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′，

作AD⊥PP′于D，

由旋转变换的性质可知，∠PAP′＝α，P′C＝PB，

∴∠APP′＝90°－，

∵∠PAC＋∠PCA＝，

∴∠APC＝180°－，

∴∠P′PC＝（180°－）－（90°－）＝90°，

∴PP′2＋PC2＝P′C2，

∵∠APP′＝90°－，

∴PD＝PA•cos（90°－）＝PA•sin，

∴PP′＝2PA•sin，

∴4PA2sin2＋PC2＝PB2，

故答案为：4PA2sin2＋PC2＝PB2．