Question

如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．

（1）当CQ=10时，求的值．

（2）当x为何值时，PQ∥BC；

（3）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长，若不存在，请说明理由．

Answer

(1)2;(2) ;(3) 存在．

【解析】

（1）当CQ=10时，可求出x，从而求出AP，即可求出BP，然后根据两个三角形两底上的高相等时，这两个三角形的面积比等于这两个底的比，就可解决问题；
（2）由题可得AP=4x，CQ=3x，BP=20-4x，AQ=30-3x．若PQ∥BC，则有△APQ∽△ABC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）由BA=BC得∠A=∠C．要使△APQ∽△CQB，只需只需

此时 解这个方程就可解决问题．

【解析】
(1)当CQ=10时，3x=10，

∴

∴

∴

∴∴.

(2)由题可得AP=4x，CQ=3x.

∵BA=BC=20，AC=30，

∴BP=20−4x，AQ=30−3x.

若PQ∥BC，

则有△APQ∽△ABC，

∴

∴

解得：

∴当时,PQ∥BC；

(2)存在;

∵BA=BC，

∴∠A=∠C，

要使△APQ∽△CQB，

只需

此时

解得：

∴