Question

如图1，三个正方形ABCD、AEMN、CEFG，其中顶点D、C、G在同一条直线上，点E是BC边上的动点，连结AC、AM.

（1）求证：△ACM∽△ABE.

（2）如图2，连结BD、DM、MF、BF，求证：四边形BFMD是平行四边形.

（3）若正方形ABCD的面积为36，正方形CEFG的面积为4，求五边形ABFMN的面积.

   

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）74.

【解析】

(1)根据四边形ABCD和四边形AEMN都是正方形得，∠CAB=∠MAC=45°，∠BAE=∠CAM，可证△ACM∽△ABE；

（2）连结AC，由△ACM∽△ABE得∠ACM=∠B=90°，易证∠MCD=∠BDC=45°，得BD∥CM,由MC=BE，FC=CE，得MF=BD，从而可以证明四边形BFMD是平行四边形；

（3）根据S五边形ABFMN=S正方形AEMN+S梯形ABFE+S三角形EFM求解即可.

（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEMN都是正方形，

∴，∠CAB=∠MAC=45°，

∴∠CAB-∠CAE=∠MAC-∠CAE，

∴∠BAE=∠CAM，

∴△ACM∽△ABE.

（2）证明：连结AC

因为△ACM∽△ABE，则∠ACM=∠B=90°，

因为∠ACB=∠ECF=45°，

所以∠ACM+∠ACB+∠ECF=180°，

所以点M,C,F在同一直线上，所以∠MCD=∠BDC=45°，

所以BD平行MF，

又因为MC=BE，FC=CE，

所以MF=BC=BD，

所以四边形BFMD是平行四边形

（3）S五边形ABFMN=S正方形AEMN+S梯形ABFE+S三角形EFM

=62+42+（2+6）4+ 26

=74.