Question

已知：二次函数满足下列条件：①抛物线y=ax²+bx与直线y=x只有一个交点；②对于任意实数x，a（-x+5）²+b（-x+5）=a（x-3）²+b（x-3）都成立．

（1）求二次函数y=ax²+bx的解析式；

（2）若当-2≤x≤r（r≠0）时，恰有t≤y≤1.5r成立，求t和r的值．

Answer

（1）y=x2+x；（2）t=-4，r=-1.

【解析】

（1）由①联立方程组，根据抛物线y=ax2+bx与直线y=x只有一个交点可以求出b的值，由②可得对称轴为x=1，从而得a的值，进而得出结论；

（2）进行分类讨论，分别求出t和r的值.

（1）y=ax2+bx和y=x联立得：ax2+(b+1)x=0，

Δ=0得：(b-1)2=0，得b=1，

∵对称轴为=1，

∴=1，

∴a=，

∴y=x2+x.

（2）因为y=x2+x=(x-1)2+,

所以顶点（1，）

当-2