Question

如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°.将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.

（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；

（2）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为           （直接写出结果）；

（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，OD为∠BOM平分线.请探究：∠MOD与∠NOC之间的数量关系，并说明理由.

Answer

(1) ON平分∠AOC.理由见解析；（2）40或10,（3）∠AOM -∠NOC=30°.理由见解析.

【解析】

试题（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；

（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠RON=30°，即旋转60°或240°时ON平分∠AOC，据此求解；

（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．

试题解析：（1）直线ON平分∠AOC．理由：

设ON的反向延长线为OD，

∵OM平分∠BOC，

∴∠MOC=∠MOB，

又∵OM⊥ON，

∴∠MOD=∠MON=90°，

∴∠COD=∠BON，

又∵∠AOD=∠BON（对顶角相等），

∴∠COD=∠AOD，

∴OD平分∠AOC，

即直线ON平分∠AOC．

（2）∵∠BOC=120°

∴∠AOC=60°，

∴∠BON=∠COD=30°，

即旋转60°时ON平分∠AOC，

由题意得，6t=60°或240°，

∴t=10或40；

（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，

∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．