Question

如图,P是等腰直角△ABC外一点,把BP绕直角顶点BB顺时针旋转90⁰到BP^/,已知∠AP^/B=135⁰，P^/A:P^/C=1:3，则PB:P^/A的值为________.

Answer

1:2

【解析】

如图，连接AP，构建全等三角形：△ABP≌△CBP′（SAS），由该全等三角形的对应边相等得到AP=P′C；如图，连接PP′，结合已知条件可以推知△APP′是直角三角形，所以由勾股定理来求相关线段的长度即可．

如图，连接AP，

∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，

∴BP=BP′,∠ABP+∠ABP′=90°，

又∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC,∠CBP′+∠ABP′=90°，

∴∠ABP=∠CBP′，

在△ABP和△CBP′中，

∵，

∴△ABP≌△CBP′(SAS)，

∴AP=P′C，

∵P′A:P′C=1:3，

∴AP=3P′A，

连接PP′,则△PBP′是等腰直角三角形，

∴∠BP′P=45°,PP′=PB，

∵∠AP′B=135°，

∴∠AP′P=135°−45°=90°，

∴△APP′是直角三角形，

设P′A=x，则AP=3x，

根据勾股定理,PP′===2x，

∴PP′=PB=2x，

解得PB=2x，

∴P′A:PB=x:2x=1:2.

故答案是：1:2.