Question

如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：

①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；&

②点O与O′的距离为4；

③∠AOB=150°；

④四边形AOBO′的面积为6＋3 ；

⑤S_△AOC＋S_△AOB=6＋.

其中正确的结论是_______________．

Answer

①②③⑤.

【解析】

证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；

由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；

在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；

S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故结论④错误；

如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O′′点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确．

由题意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°，

∴∠1=∠3，

又∵OB=O′B，AB=BC，

在△BO′A和△BOC中，

，

∴△BO′A≌△BOC(SAS)，

又∵∠OBO′=60°，

∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，

故结论①正确；

如图①，连接OO′，

∵OB=O′B,且∠OBO′=60°，

∴△OBO′是等边三角形，

∴OO′=OB=4.

故结论②正确；

∵△BO′A≌△BOC,∴O′A=5.

在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，

∴△AOO′是直角三角形,∠AOO′=90°，

∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，

故结论③正确；

S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，

故结论④错误；

如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O′′点.

易知△AOO′′是边长为3的等边三角形，△COO′′是边长为3、4、5的直角三角形，

则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO''=S△COO''+S△AOO''=×3×4+×32=6+，

故结论⑤正确.

综上所述，正确的结论为：①②③⑤.

故答案为：①②③⑤.