Question

已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，

(1)求证：DF与⊙O的位置关系并证明；

(2)求FG的长．

Answer

（1）证明见解析；

（2）FG的长为．

【解析】

试题（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．

（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FG长．

试题解析：（1）连接OD，

∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，

∴∠B=∠C=∠ODB=60°，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，

∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，

∴DF是圆O的切线；

（2）∵OB=OD=AB=6，且∠B=60°，

∴BD=OB=OD=6，

∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，

∵在Rt△CFD中，∠C=60°，

∴∠CDF=30°，

∴CF=CD=×6=3，

∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，

∵FG⊥AB，

∴∠FGA=90°，

∵∠FAG=60°，

∴FG=AFsin60°=．