Question

如图，AB为⊙O的弦，若OA⊥OD,AB、OD相交于点C,且CD=BD.

(1)判定BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(2)当OA=3，OC=1时，求线段BD的长.

Answer

（1）见解析；（2）4

【解析】

试题分析: （1）连接OB，由BD=CD，利用等边对等角得到∠DCB=∠DBC，再由AO垂直于OD，得到三角形AOC为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到OB垂直于BD，即可得证；

（2）设BD=x，则OD=x+1，在RT△OBD中，根据勾股定理得出32+x2=（x+1）2，通过解方程即可求得．

试题解析:

（1）证明：连接OB，

∵OA=OB，DC=DB，

∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，

∵AO⊥OD，

∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，

∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，

∴∠ABO+∠DBC=90°，即OB⊥BD，

则BD为圆O的切线；

（2）【解析】
设BD=x，则OD=x+1，而OB=OA=3，

在RT△OBD中，OB2+BD2=OD2，

即32+x2=（x+1）2，

解得x=4，

∴线段BD的长是4．