Question

已知P是⊙O外的一点,OP=4,OP交⊙O于点A,且A是OP的中点,Q是⊙O上任意一点．

(1)如图1,若PQ是⊙O的切线,求∠QOP的大小；

(2)如图2,若∠QOP=90°,求PQ被⊙O截得的弦QB的长．

Answer

(1) ∠QOP=60°； (2) QB=．

【解析】

（1）先利用切线的性质得到OQ⊥PQ，然后利用锐角三角函数值的定义求∠QOP的大小；

（2）利用垂径定理，作OD⊥BQ于D，如图2，则QD=BD，先利用勾股定理计算出PQ，再证明Rt△QOD∽Rt△QPO，利用相似比计算出QD，从而得到BQ的长．

(1)如图1，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∵A是OP的中点，∴OP=2OA，

在Rt△OPQ中，cos∠QOP==，∴∠QOP=60°；

(2)作OD⊥BQ于D，如图2，则QD=BD，∵∠QOP=90°，OP=4，OQ=2，∴PQ=2，

∵∠OQD=∠PQO，∴Rt△QOD∽Rt△QPO，∴QD：OQ=OQ：QP，即QD：2=2：2，

∴QD=，∴QB=2QD=．