Question

如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF．

（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；

（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．

Answer

【解析】
（1）AF与圆O的相切。理由为：

如图，连接OC，

∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC。

∴∠OCP=90°。

∵OF∥BC，

∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB。

∵OC=OB，∴∠OCB=∠B。∴∠AOF=∠COF。

∵在△AOF和△COF中，OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF，

∴△AOF≌△COF（SAS）。∴∠OAF=∠OCF=90°。

∴AF为圆O的切线，即AF与⊙O的位置关系是相切。

（2）∵△AOF≌△COF，∴∠AOF=∠COF。

∵OA=OC，∴E为AC中点，即AE=CE=AC，OE⊥AC。

∵OA⊥AF，∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=5。

∵S△AOF=•OA•AF=•OF•AE，∴AE=。

∴AC=2AE=。

【解析】

试题（1）连接OC，先证出∠3=∠2，由SAS证明△OAF≌△OCF，得对应角相等∠OAF=∠OCF，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；

（2）先由勾股定理求出OF，再由三角形的面积求出AE，根据垂径定理得出AC=2AE．

试题解析：（1）连接OC，如图所示：

∵AB是⊙O直径，

∴∠BCA=90°，

∵OF∥BC，

∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，

∴OF⊥AC，

∵OC=OA，

∴∠B=∠1，

∴∠3=∠2，

在△OAF和△OCF中，

，

∴△OAF≌△OCF（SAS），

∴∠OAF=∠OCF，

∵PC是⊙O的切线，

∴∠OCF=90°，

∴∠OAF=90°，

∴FA⊥OA，

∴AF是⊙O的切线；

（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，

∴OF==5

∵FA⊥OA，OF⊥AC，

∴AC=2AE，△OAF的面积=AF•OA=OF•AE，

∴3×4=5×AE，

解得：AE=，

∴AC=2AE=．