Question

已知AB为⊙O的直径,P为AB延长线上的任意一点,过点P作⊙O的切线,切点为C,∠APC的平分线PD与AC交于点D．

(1)如图1,若∠CPA恰好等于30°,求∠CDP的度数；

(2)如图2,若点P位于(1)中不同的位置，(1)的结论是否仍然成立？说明你的理由．

Answer

（1）∠CDP=45°；

（2）∠CDP的大小不发生变化，理由见解析.

【解析】

试题（1）连接OC，则∠OCP=90°，根据∠CPA=30°，求得∠COP，再由OA=OC，得出∠A=∠ACO，由PD平分∠APC，即可得出∠CDP=45°．（2）由PC是⊙O的切线，得∠OCP=90°．再根据PD是∠CPA的平分线，得∠APC=2∠APD．根据OA=OC，可得出∠A=∠ACO，即∠COP=2∠A，在Rt△OCP中，∠OCP=90°，则∠COP+∠OPC=90°，从而得出∠CDP=∠A+∠APD=45°．所以∠CDP的大小不发生变化．

试题解析：（1）连接OC，

∵PC是⊙O的切线，

∴OC⊥PC

∴∠OCP=90°．

∵∠CPA=30°，

∴∠COP=60°

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO=30°

∵PD平分∠APC，

∴∠APD=15°，

∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．

（2）∠CDP的大小不发生变化．

∵PC是⊙O的切线，

∴∠OCP=90°．

∵PD是∠CPA的平分线，

∴∠APC=2∠APD．

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∴∠COP=2∠A，

在Rt△OCP中，∠OCP=90°，

∴∠COP+∠OPC=90°，

∴2（∠A+∠APD）=90°，

∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．

即∠CDP的大小不发生变化．