Question

在⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点．

(1)如图1,过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=27°,求∠P的大小；

(2)如图2,D为上一点,且OD经过AC的中点E,连接DC并延长,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=10°,求∠P的大小．

Answer

(1) ∠P=36°；(2) ∠P=30°.

【解析】

（1）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；

（2）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°-∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可．

（1）如图，连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，

∵∠CAB=27°，∴∠COB=2∠CAB=54°，

在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，∴∠P=90°﹣∠COP=36°；

（2）∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，

在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，∴∠ACD=∠AOD=40°，

∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．