Question

如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90^o，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点P，∠A=∠PDB．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若AB=4，DA=DP，试求弧BD的长；

（3）如图②，点M是弧AB的中点，连结DM，交AB于点N．若tanA=，求的值．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）连结OD；由AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠A，∠BDO=∠ABD；得到∠PDO=90°，且D在圆上，于是得到结论；

（2）设∠A=x，则∠A=∠P=x，∠DBA=2x，在△ABD中，根据∠A+∠ABD=90o列方程求出x的值，进而可得到∠DOB=60o，然后根据弧长公式计算即可；

（3）连结OM，过D作DF⊥AB于点F，然后证明△OMN∽△FDN，根据相似三角形的性质求解即可.

（1）连结OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90o，

∠A+∠ABD=90o，又∵OA=OB=OD，∴∠BDO=∠ABD，

又∵∠A=∠PDB，∴∠PDB+∠BDO=90o，即∠PDO=90o，

且D在圆上，∴PD是⊙O的切线．

（2）设∠A=x，

∵DA=DP，∴∠A=∠P=x，∴∠DBA=∠P+∠BDP=x+x=2x，

在△ABD中，

∠A+∠ABD=90o，x=2x=90o，即x=30o，

∴∠DOB=60o，∴弧BD长．

（3）连结OM，过D作DF⊥AB于点F，∵点M是的中点，

∴OM⊥AB，设BD=x，则AD=2x，AB==2OM，即OM=，

在Rt△BDF中，DF=，

由△OMN∽△FDN得．