Question

如图1，在△ABC中，点P为边AB所在直线上一点，连结CP，M为线段CP的中点，若满足∠ACP=∠MBA，则称点P为△ABC的“好点”.     

（1）如图2，当∠ABC=90°时，命题“线段AB上不存在“好点”为      （填“真”或“假”）命题，并说明理由；

（2）如图3，P是△ABC的BA延长线的一个 “好点”，若PC=4，PB=5，求AP的值；

（3）如图4，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，点P是△ABC的“好点”，若AC=4，AB=5,求AP的值.

Answer

（1）真；（2）；（3）或或.

【解析】

（1）先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知MP=MB，从而∠MPB=∠MBP，然后根据三角形外角的性质说明即可；

（2）先证明△PAC∽△PMB，然后根据相似三角形的性质求解即可；

（3）分三种情况求【解析】
P为线段AB上的“好点”， P为线段AB延长线上的“好点”， P为线段BA延长线上的“好点”.

(1)真 .

理由如下：如图，当∠ABC=90°时，M为PC中点，BM=PM，

则∠MPB=∠MBP>∠ACP，

所以在线段AB上不存在“好点”；

（2）∵P为BA延长线上一个“好点”；

∴∠ACP=∠MBP；

∴△PAC∽△PMB；

∴即；

∵M为PC中点，

∴MP=2；

∴；

∴.

(3)第一种情况，P为线段AB上的“好点”，则∠ACP=∠MBA，找AP中点D，连结MD；

∵M为CP中点；

∴MD为△CPA中位线；

∴MD=2，MD//CA；

∴∠DMP=∠ACP=∠MBA；

∴△DMP∽△DBM；

∴DM2=DP·DB即4= DP·（5DP）；

解得DP=1，DP=4（不在AB边上，舍去；）

∴AP=2

第二种情况（1），P为线段AB延长线上的“好点”，则∠ACP=∠MBA，找AP中点D，此时，D在线段AB上，如图，连结MD；

∵M为CP中点；

∴MD为△CPA中位线；

∴MD=2，MD//CA；

∴∠DMP=∠ACP=∠MBA；

∴△DMP∽△DBM

∴DM2=DP·DB即4= DP·（5DA）= DP·（5DP）；

解得DP=1（不在AB延长线上，舍去），DP=4

∴AP=8；

第二种情况（2），P为线段AB延长线上的“好点”，找AP中点D，此时，D在AB延长线上，如图，连结MD；

此时，∠MBA>∠MDB>∠DMP=∠ACP,则这种情况不存在，舍去；

第三种情况，P为线段BA延长线上的“好点”，则∠ACP=∠MBA，

∴△PAC∽△PMB；

∴

∴BM垂直平分PC则BC=BP= ;

∴

∴综上所述，或或；