Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△OAB的顶点A、B的坐标分别是A（0，5），B（3，1），过点B画BC⊥AB交直线于点C，连结AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交x轴负半轴于点D，连结AD、CD．

（1）求证：△ABC≌△AOD．

（2）设△ACD的面积为，求关于的函数关系式．

（3）若四边形ABCD恰有一组对边平行，求的值．

 

Answer

（1）证明详见解析；（2）S=（m+1）2+（m＞）；（3）3或8．

【解析】

试题（1）利用两点间的距离公式计算出AB=5，则AB=OA，则可根据“HL”证明△ABC≌△AOD；

（2）过点B作直线BE⊥直线y=﹣m于E，作AF⊥BE于F，如图，证明Rt△ABF∽Rt△BCE，利用相似比可得BC=（m+1），再在Rt△ACB中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=25+（m+1）2，然后证明△AOB∽△ACD，利用相似的性质得，而S△AOB=，于是可得S=（m+1）2+（m＞）；

（3）作BH⊥y轴于H，如图，分类讨论：当AB∥CD时，则∠ACD=∠CAB，由△AOB∽△ACD得∠ACD=∠AOB，所以∠CAB=∠AOB，利用三角函数得到tan∠AOB=3，tan∠ACB=，所以=3；当AD∥BC，则∠5=∠ACB，由△AOB∽△ACD得到∠4=∠5，则∠ACB=∠4，根据三角函数定义得到tan∠4=，tan∠ACB=，则=，然后分别解关于m的方程即可得到m的值．

试题解析：（1）证明：∵A（0，5），B（3，1），

∴AB==5，

∴AB=OA，

∵AB⊥BC，

∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC和Rt△AOD中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△AOD；

（2）【解析】
过点B作直线BE⊥直线y=﹣m于E，作AF⊥BE于F，如图，∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∴Rt△ABF∽Rt△BCE，

∴，即，

∴BC=(m+1），

在Rt△ACB中，AC2=AB2+BC2=25+（m+1）2，

∵△ABC≌△AOD，

∴∠BAC=∠OAD，即∠4+∠OAC=∠OAC+∠5，

∴∠4=∠5，

而AO=AB，AD=AC，

∴△AOB∽△ACD，

∴=，

而S△AOB=×5×3=，

∴S=（m+1）2+（m＞）；

（3）作BH⊥y轴于H，如图，

当AB∥CD时，则∠ACD=∠CAB，

而△AOB∽△ACD，

∴∠ACD=∠AOB，

∴∠CAB=∠AOB，

而tan∠AOB==3，tan∠ACB===，

∴=3，解得m=8；

当AD∥BC，则∠5=∠ACB，

而△AOB∽△ACD，

∴∠4=∠5，

∴∠ACB=∠4，

而tan∠4=，tan∠ACB=，

∴=，

解得m=3．

综上所述，m的值为3或8．