Question

对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到这个等式，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式　                                   。

（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式。

（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：

若a+b+c=10，ab+ac+bc=35，则a²+b²+c²=　       　。

（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z=　       。

Answer

（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）见解析；（3）30；（4）156

【解析】

（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可；

（2）根据多项式的乘法法则计算出（a+b+c）2的结果，即可得到右边的式子；

（3）将a+b+c=10，ab+bc+ac=35代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；

（4）长方形的面积xa2+yb2+zab =(5a+7b)(9a+4b)，然后运算多项式乘多项式法则求得(5a+7b)(9a+4b)的结果，从而得到x、y、z的值．

（1）∵正方形的面积=（a+b+c）2；正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

（2）证明：（a+b+c）（a+b+c），

=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

（3）a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，

=102﹣2（ab+ac+bc）=100﹣2×35=30．

（4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，

∵（5a+7b）（9a+4b）=45a2+20ab+63ab+28b2=45a2+28b2+83ab，

∴x=45，y=28，z=83．∴x+y+z=45+28+83=156．