Question

定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC=AD=AE，当∠BAC+∠DAE=180°  时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”.

（1）特例感知：在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM是“顶心距”。

①如图2，当∠BAC=90°时，AM与DE之间的数量关系为AM=　    　DE；

②如图3，当∠BAC=120°，ED=6时，AM的长为　       　。

（2）猜想论证：

在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明。

（3）拓展应用

如图4，在四边形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，CA=，在四边ABCD的内部找到点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”。并回答下列问题。

①请在图中标出点P的位置，并描述出该点的位置为                    ；

②直接写出△PBC的“顶心距”的长为                  。

Answer

（1）①；②3（2）AM=DE（3）

【解析】

（1）①根据全等三角形的判定与性质推出△ABC与△DAE全等，再根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半即可得出答案；②根据题意推出△ADE为等边三角形，推出AB的长度为6，即可得出AM (2) 过点A作AN⊥ED于N,证出∠DAN=∠DAE，ND =DE和∠CAM=∠CAB，再证∠DAN+∠CAM=90°，∠DAN=∠C，推出

△AND≌△AMC，即可得出答案.

（1）①；②3

（2）猜想：结论AM=DE.

证明：过点A作AN⊥ED于N

∵AE=AD，AN⊥ED

∴∠DAN=∠DAE，ND =DE

同理可得：∠CAM=∠CAB，

∵∠DAE+∠CAB=180°，

∴∠DAN+∠CAM=90°，

∵∠CAM+∠C=90°

∴∠DAN=∠C，

∵AM⊥BC∴∠AMC=∠AND=90°

在△AND与△AMC中，

∴△AND≌△AMC，

∴ND=AM

∴AM=DE.

（3）①图略；线段AC的中点或（线段AD的垂直平分线与线段AC的交点）或（线段BC的垂直平分线与线段AC的交点）等方法正确均可以给分；

②

PE为所求，由题意知，BC=,AB=,

所以PE=AB=