Question

如图，是二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①abc＜0；②b＞2a；③a+b+c=0④ax²+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；⑤8a+c＞0．其中正确的命题是______．

Answer

①③④⑤

【解析】

试题由抛物线的开口方向判断a的符号；然后结合对称轴判断b的符号；根据抛物线的对称轴、抛物线与x的一个交点可以推知与x的另一个交点的坐标；由二次函数图象上点的坐标特征可以推知x=1满足该抛物线的解析式．

【解析】
①根据抛物线是开口方向向上可以判定a＞0；

∵对称轴x=﹣=﹣1，

∴b=2a＞0；

∵该抛物线与y轴交于负半轴，

∴c＜0，

∴abc＜0；

故本选项正确；

②由①知，b=2a；

故本选项错误；

③∵该抛物线与x轴交于点（1，0），

∴x=1满足该抛物线方程，

∴a+b+c=0；

故本选项正确；

④设该抛物线与x轴交于点（x，0）），

则由对称轴x=﹣1，得=﹣1，

解得，x=﹣3；

∴ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；

故本选项正确；

⑤根据图示知，当x=﹣4时，y＞0，

∴16a﹣4b+c＞0，

由①知，b=2a，

∴8a+c＞0；

故本选项正确；

综合①②③④⑤，上述正确的①③④⑤；

故答案是：①③④⑤．