Question

如图，在等边△ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，且 AE=CD，BE 与 AD 相交于点 P，BQ⊥AD 于点 Q．

（1）求证：BE=AD；

（2）若 PQ=4，求 BP 的长．

Answer

（1）见解析；（2）8.

【解析】

（1）欲证明BE=AD，只要证明△ABE≌△CAD即可；

（2）只要证明∠BPQ=60°，利用直角三角形30度角的性质即可解决问题.

证明：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，

在△ABE 和△CAD 中

,

∴△ABE≌△CAD（SAS），

∴BE=AD．

（2）∵△ABE≌△CAD，

∴∠ABE=∠CAD，

∴∠BPQ=∠ABP+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，

又∵BQ⊥AD，

∴∠BQP=90°，

∴∠PBQ=180°﹣∠BPQ﹣∠BQP=30°，

∴BP=2PQ，

又∵PQ=4，

∴BP=8．