Question

已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线．

（1）当∠BAC=40°时，∠BPC=　   　，∠BQC=　   　；

（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；

（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC的度数．

Answer

(1) 70°，125°；(2) ∠BAC=60° (3) 45°

【解析】

（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；
（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数.

（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，

∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，

∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，

∴∠CBP+∠BCP=（∠DBC+∠BCE）=110°，

∴∠BPC=180°﹣110°=70°，

∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，

∴∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，

∴∠QBC+∠QCB=55°，

∴∠BQC=180°﹣55°=125°；

（2）∵BM∥CN，

∴∠MBC+∠NCB=180°，

∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，

∴（∠DBC+∠BCE）=180°，

即（180°+∠BAC）=180°，

解得∠BAC=60°；

（3）∵∠BAC=120°，

∴∠MBC+∠NCB=（∠DBC+∠BCE）=（180°+α）=225°，

∴∠BOC=225°﹣180°=45°．