Question

如图，已知△ABC和△ECD都是等边三角形， B、C、D在一条直线上。

求证：（1）BE=AD；

（2）CF=CH；

（3）△FCH是等边三角形；

（4）FH∥BD；

（5）求∠EMD的度数。；

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析；（5）∠EMD

的度数为60°.

【解析】试题（1）根据△ABC和△CDE都是等边三角形得出BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，再由SAS定理即可得出△BCE≌△ACD，进而得到BE=AD；（2）（3）利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH，再由∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．（4）由△FCH是等边三角形，∠FHC =∠HCD =60°，即可得到FH∥BD；（5）

由△BCE≌△ACD得∠BEC =∠ADC，∠MEH =∠CDH∠MHE =∠CHD可得∠EMH =∠HCD=60°.

试题解析：（1）∵△ABC和△DEC是等边三角形，

∴AC=BC．CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，

∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，

∴∠BCE=∠ACD，

在△BCE和△ACD中，

AC=BC ∠BCE＝∠ACD CE＝CD

∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD=BE．

（2）∵△BCE≌△ACD，

∴∠BCE=∠ADC．

∵∠FCE=∠HCD=60°

在△FCE和△HCD中，

∠BCE=∠ADC CE =CD ∠FCE=∠HCD

∴△BCE≌△ACD （ASA），

∴CF =CH

: 在△CFH中

∵ CF=CH ∠FCH=60°

∴△FCH是等边三角形

(4): ∵△FCH是等边三角形

∴∠FHC =60°

∵∠HCD =60° ∴∠FHC=∠HCD

∴FH∥BD

(5): ∵ △BCE≌△ACD

∴∠BEC =∠ADC

在△MHE和△CHD中

∵∠MEH =∠CDH

∠MHE =∠CHD（对顶角相等）

∴∠EMH =∠HCD=60°

∠EMD=60°