Question

如图乙，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线 BD，CE的交点．

（1）如图甲，将△ADE 绕点A 旋转，当 C、D、E 在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个．（回答直接写序号）

①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE²=2(AD²+AB²)

（2）若 AB=4，AD=2，把△ADE 绕点 A 旋转，

①当∠CAE=90°时，求 PB 的长；

②直接写出旋转过程中线段 PB 长的最大值．

Answer

（1）①②③；（2）①PB=或，②PB长的最小值是-2，最大值是+2.

【解析】

（1）①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°，进而得出结论；③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠ABD=∠ACE就可以得出结论；④△BDE为直角三角形就可以得出BE2=BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2=2AD2，BC2=2AB2，就有BC2=BD2+CD2≠BD2就可以得出结论；

（2）①分两种情形a、如图乙-1中，当点E在AB上时，BE=AB-AE=2．由△PEB∽△AEC，得=，由此即可解决问题．b、如图乙-2中，当点E在BA延长线上时，BE=6．解法类似；

②如图乙-3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．分别求出PB即可.

（1）①②③；

（2）①【解析】
a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB-AE=2．

∵∠EAC=90°，
∴CE=，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC．
∴，
∴，
∴PB=
b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=6．

∵∠EAC=90°，
∴CE=，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∽△AEC，
∴，
∴，
∴PB=，
综上，PB=或．
②【解析】
a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．

理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）
∵AE⊥EC，
∴EC=，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=2，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD=AE=2，
∴PB=BD-PD=2-2．
b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．

理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）
∵AE⊥EC，
∴EC=，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD=AE=2，
∴PB=BD+PD=+2．
综上所述，PB长的最小值是-2，最大值是+2.