Question

如图，一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形，古希腊科学家把数1，3，6，10，15，21，…，称为“三角形数”；把1、4、9、16，25，…称为“正方形数”．同样的，可以把数1，5，12，22，…，等数称为“五边形数”．

将三角形、正方形、五边形都整齐的由左到右填在所示表格里：

三角形数	1	3	6	10	15	21	a	…
正方形数	1	4	9	16	25	b	49	…
五边形数	1	5	12	22	c	51	70	…

（1）按照规律，表格中a=       ，b=      ，c=      ．

（2）观察表中规律，第n个“正方形数”是      ；若第n个“三角形数”是x，则用含x、n的代数式表示第n个“五边形数”是         ．

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）首先根据前6个“三角形数”分别是1=、3=、6=、10=、15=、21=，可得第n个“三角形数”是，据此求出a的值是多少；然后根据前5个“正方形数”分别是1=12，4=22，9=32，16=42，25=52，可得第n个“正方形数”是n2，据此求出b的值是多少；最后根据前4个“五边形数”分别是1=，5=，12=，22=，可得第n个“五边形数”是，据此求出c的值是多少即可．

（2）首先判断出第n个“正方形数”是n2；然后分别求出第1个“三角形数”、第1个“正方形数”的和与第1个“五边形数”的差是多少，第2个“三角形数”、第2个“正方形数”的和与第2个“五边形数”的差是多少；第3个“三角形数”、第3个“正方形数”的和与第3个“五边形数”的差是多少；最后总结出规律，用含x、n的代数式表示第n个“五边形数”即可．

（1）∵前6个“三角形数”分别是：

1=、3=、6=、10=、15=、21=，

∴第n个“三角形数”是，

∴a=＝28．

∵前5个“正方形数”分别是：

1=12，4=22，9=32，16=42，25=52，

∴第n个“正方形数”是n2，

∴b=62=36．

∵前4个“正方形数”分别是：

1=，5=，12=，22=，

∴第n个“五边形数”是，

∴c==35．

（2）第n个“正方形数”是n2；

1+1-1=1，

3+4-5=2，

6+9-12=3，

10+16-22=4，

…，

∴第n个“五边形数”是n2+x-n．

故答案为：28、36、35；n2、n2+x-n．